Schnitt zweier Ebenen in Parameterform

Gleichungssystem zur Lagebestimmung

Sind beide Ebenen in Parameterform gegeben, kannst du ihre Lage über ein Gleichungssystem bestimmen. Die Parameterform einer Ebene hat die folgende Gestalt: ``` E: x = x0 + t * u + s * v y = y0 + t * u + s * v z = z0 + t * u + s * v ``` Dabei sind x0, y0, z0 ein beliebiger Punkt der Ebene und u, v Richtungsvektoren. Um den Schnittpunkt zweier Ebenen zu finden, setzt du die Parameterformen für x, y und z gleich und löst das entstehende Gleichungssystem: ``` x0 + t * u + s * v = x'0 + t' * u' + s' * v' y0 + t * u + s * v = y'0 + t' * u' + s' * v' z0 + t * u + s * v = z'0 + t' * u' + s' * v' ``` Die Lösung dieses Systems liefert die Werte für t und s, die den Schnittpunkt der beiden Ebenen bestimmen.

Schnitt zweier paralleler Ebenen

Wenn die beiden Ebenen parallel sind, haben sie die gleiche Normalenrichtung. In diesem Fall kannst du den Abstand zwischen den beiden Ebenen berechnen, indem du den Abstand eines beliebigen Punktes einer Ebene zum Fußpunkt des Lotes auf die andere Ebene misst. Die Formel für den Abstand lautet: ``` Abstand = |(x1 - x0) * nx + (y1 - y0) * ny + (z1 - z0) * nz| / sqrt(nx^2 + ny^2 + nz^2) ``` Dabei sind (x0, y0, z0) die Koordinaten des Punktes auf der einen Ebene, (x1, y1, z1) die Koordinaten des Fußpunkts des Lotes auf der anderen Ebene und (nx, ny, nz) die Komponenten des Normalenvektors der beiden Ebenen.

Schnitt zweier Ebenen in allgemeiner Form

Wenn die beiden Ebenen nicht in Parameterform vorliegen, kannst du sie zunächst in Parameterform umwandeln und dann den Schnittpunkt berechnen. Alternativ kannst du auch die Ebenengleichungen in Vektorform aufstellen und das Kreuzprodukt der Normalenvektoren berechnen. Dieser Vektor ist parallel zur Schnittgeraden der beiden Ebenen.